العلم التكامل في MATLAB

يقدم MATLAB طرقًا متعددة لحل مشاكل التفاضل والتكامل، وحل المعادلات التفاضلية من أي درجة وحساب الحد الأعلى. والأهم من ذلك، يمكنك بسهولة حوسبة الرسومات المعقدة للوظائف، وتحقق القيم القصوى والمقصى وأي نقاط أخرى على الرسم من خلال حوسبة الوظيفة الأصلية ومددها.

في هذا الفصل، سنناقش مشاكل التفاضل والتكامل. في هذا الفصل، سنناقش مفهوم التدريب المسبق، أي حساب الحد الأعلى للوظيفة وتحقق خصائص الحد الأعلى.

في الفصل التالي للتفاضل، سنحسب الناقل للتعبير، وسنبحث عن القيم القصوى والمقصى للرسومات. وسنناقش أيضًا حل المعادلات التفاضلية.

في النهاية، فيالتكاملفي الفصل، سنناقش حساب التكامل.

حساب الحد الأعلى.

يقدم MATLABlimitالوظيفة المستخدمة لتحديد الحد الأعلى.limitتعتبر الوظيفة الحد الأعلى كمعامل، وتجد الحد الأعلى للتعبير عند أن يكون المتغير التابع صفرًا.

مثلاً، لنحسب الحد الأعلى للوظيفة f(x)= (x ³ + 5）/ (x ⁴ + 7)، لأن x يتجه إلى الصفر.

syms　x
limit((x^3 + 5)/(x^4 + 7))

MATLAB将执行上述语句并返回以下结果-

ans　=
　　　5/7

极限函数属于符号计算领域。您需要使用syms函数来告诉MATLAB您正在使用哪些符号变量。您还可以计算函数的极限，因为变量趋向于除零以外的某个数字。为了计算lim _{x-> a}（f(x)），我们使用带参数的limit命令。第一个是表达式，第二个是x逼近的数字，这里是a。

例如，让我们计算函数的极限f(x)=(x-3)/(x-1)，因为x趋于1。

limit((x　-　3)/(x-1),1)

MATLAB将执行上述语句并返回以下结果-

ans　=
　　　NaN

让我们再举一个实例

limit(x^2　+　5,　3)

MATLAB将执行上述语句并返回以下结果-

ans　=
　　　14

使用Octave计算极限

以下是使用symbolic包的上述示例的Octave版本，请尝试执行并比较结果-

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym("x");
subs((x^3+5)/(x^4+7),x,0)

Octave将执行以上语句并返回以下结果-

ans　=
　　　0.7142857142857142857

极限基本属性的验证

代数极限定理提供了极限的一些基本性质。这些如下-

让我们来看两个函数-

• f(x) =（3x + 5）/(x-3)

• g(x)= x ² +1。

让我们计算两个函数的x趋于5的函数极限，并使用这两个函数和MATLAB验证极限的基本属性。

مثال

إنشاء ملف سكريبت واكتب فيه ما يلي -

syms　x
f　=　(3*x　+　5)/(x-3);
g　=　x^2　+　1;
l1　=　limit(f,　4)
l2　=　limit　(g,　4)
lAdd　=　limit(f　+　g,　4)
lSub　=　limit(f　-　g,　4)
lMult　=　limit(f*g,　4)
lDiv　=　limit　(f/g,　4)

运行文件时，它显示-

l1　=
　　　17
　　
l2　=
　　　17
　　
lAdd　=
　　　34
　
lSub　=
　　　0
　　
lMult　=
　　　289
　　
lDiv　=
　　　1

使用Octave验证极限的基本属性

以下是使用symbolic包的上述示例的Octave版本，请尝试执行并比较结果-

pkg　load　symbolic
symbols
x　=　sym("x");
f　=　(3*x　+　5)/(x-3);
g　=　x^2　+　1;
l1　=　subs(f,　x,　4)
l2　=　subs　(g,　x,　4)
lAdd　=　subs　(f+g,　x,　4)
lSub　=　subs　(f-g,　x,　4)
lMult　=　subs　(f*g,　x,　4)
lDiv　=　subs　(f/g,　x,　4)

Octave将执行以上语句并返回以下结果-

l1　=
　　　17.0
l2　=
　　　17.0
lAdd　=
　　　34.0
lSub　=
　　　0.0
lMult　=
　　　289.0
lDiv　=
　　　1.0

الحدود اليسرى واليمنى

عندما يكون لدينا عدم توافق في القيمة الخاصة للمتغير في الوظيفة، لا يوجد حد. بمعنى آخر، عند x = a، يكون الحد f(x) غير متساوٍ مع القيمة عند x قريب من x من الجانب الأيسر.

يؤدي ذلك إلى مفهوم الحدود اليسرى واليمنى. يتم تعريف الحد الأيسر كالحالة التي تبدأ فيها الحدود من الجانب الأيسر، أي x-> a، أي القيمة عند x قريب من a، حيث x <a. يتم تعريف الحد الأيمن كالحالة التي تبدأ فيها الحدود من الجانب الأيمن، أي x-> a، أي القيمة عند x قريب من a، حيث x > a. عندما تكون الحدود اليسرى واليمنى غير متساويتين، فإن الحد غير موجود.

دعونا نرى وظيفة -

f(x) = (x - 3)/|x - 3|

سنعرض lim _{x-> 3} f(x) غير موجود. يساعد MATLABنا على إثبات هذا بطرقين -

• تُظهر الرسم البياني للوظيفة وجود عدم توافق.

• تُظهر الحسابات والعرض أن الاثنين مختلفين.

تُحسب الحدود اليسرى واليمنى من خلال تمرير الكلمتين 'left' و 'right' كآخر معامل لـ limit.

مثال

إنشاء ملف سكريبت واكتب فيه ما يلي -

f　=　(x　-　3)/abs(x-3);
ezplot(f,[-1,5])
l　=　limit(f,x,3,'left')
r　=　limit(f,x,3,'right')

عند تشغيل الملف، يرسم MATLAB الرسم البياني التالي

إظهار الناتج بعد تشغيل الملف -

l　=　limit(f,x,3,'left')
　　　l　=　limit(f,x,3,'left')
　　
r　=　limit(f,x,3,'right')
　　　1